Числовые характеристики законов распределения


Статистическое описание случайной величины полным указанием законов  распределения  слишком  громоздка. На практике достаточно указать только отдельные числовые характеристики закона распределения случайной величины. Для оценки того или иного свойства законов распределения случайной величины  в теории вероятностей  используют числовые характеристики, называемые  моментами.

            Прежде всего нас интересует положение случайной величины на числовой оси,  т.е. ее систематическая составляющая - ее среднее значение, определяющее положение области, в которой группируется значения случайной величины.

            Такое среднее значение случайной  величины  называется ее первым моментом или ее математическим ожиданием.

Числовые характеристики законов распределения,                                                                               (2.4)

т.е. определяется как сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Х на вероятность  этих значений Р.

Для непрерывной случайной величины выражение для математического ожидания можно записать

Числовые характеристики законов распределения,                                                                      (2.5)

где  ×P(X) - плотность распределения вероятностей случайной величины Х.

В отличие  от  среднего  арифметического значения, которое  само  является  случайной  величиной, т.к. зависит от испытаний, математическое ожидание является числом,  которое связано только с законом распределения случайной величины.

Начальный момент s-го порядка дискретной случайной величины запишется:

Числовые характеристики законов распределения 

Для непрерывной случайной величины:

Числовые характеристики законов распределения                                                   

            Иначе, математическое  ожидание - это начальный момент первого порядка.         Случайная погрешность  (случайное отклонение) определяется зависимостью:

Числовые характеристики законов распределения       

Центральным моментом S-го порядка случайной величины называется  математическое  ожидание  S степени соответствующей центрированной величины.

 Числовые характеристики законов распределения

Из определения  следует,  что m1 = 0,  т.е.  математическое ожидание первой степени центрированной случайной величины всегда = 0.

Второй центральный  момент  называется дисперсией случайной величины  и характеризуется рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания.

m2 = D = M)2],

Числовые характеристики законов распределения 

Так как дисперсия имеет  разность  квадрата  случайной величины, то она выражает как бы мощность ее рассеяния. Для наглядной характеристики самой величины рассеяния пользуются среднеквадратическим отклонением случайной величины Х, которое равно Числовые характеристики законов распределения и имеет размерность самой случайной величины.

Третий центральный момент характеризует асимметрию, или скошенность (рис. 2.5.) распределения (медиана распределения). Для всех симметричных относительно математического  ожидания законов распределения этот момент равен нулю.

Числовые характеристики законов распределения

Числовые характеристики законов распределения

Рис. 2.5. Иллюстрация «скошенности» закона распределения

            Медианой непрерывной случайной величины  называется такое значение Х, что в этой точке функция распределения F(X) случайной величины Х равна ½.

Для относительной характеристики асимметрии обычно пользуются коэффициентом асимметрии:      S = m3/s3

Четвертый центральный  момент  служит  для описания островершинности или   плосковершинности   распределения (мода). Мода  - для дискретной случайной величины - наиболее вероятное значение случайной величины.  Мода - для непрерывной - точка максимума плотности распределения ее вероятностей.

Эти свойства описываются с помощью относительного значения четвертого момента, равного   m4/s4 , или так называемого эксцесса, который находится как:

Ex  = m4/s4 -3

Для нормального закона распределения величина  m4/s4 =3, Ex = 0, остальные распределения сравниваются с нормальными, поэтому вычитается  тройка. Для нормального закона Ех = 0. Кривые более островершинные по  сравнению  с нормальным законом,  обладают положительным эксцессом,  а плосковершинные кривые - отрицательным эксцессом. Точкой перегиба кривой имеют абсциссы

Числовые характеристики законов распределения,        Числовые характеристики законов распределения .

Асимметрия, вычисленная по формуле S  = m3/s3 = 0. Этот результат характеризует симметричную  форму  кривой относительно среднего  значения Хо,  совпадающее с модой Мо и Мс. Эксцесс найденный по формуле Ex= m4/s4-3 = 0.

Функция нормального  распределения определяется интегралом

Числовые характеристики законов распределения 

Вероятность нахождения случайной величины  Х  между X1 и X2 определяется разностью соответствующих значений функции распределения

Вер. = F(X2) - F (X1) = Числовые характеристики законов распределения.

            Графически эта  вероятность  представлена  площадью под кривой, изображающей плотность вероятности между ординатами, соответствующими абсциссам X1 и X2.

Если X1  = - ¥ ,   а X2 = + ¥, то вероятность, определенная по этой формуле обратится в 1 и выразит всю площадь под кривой.

Для облегчения  пользования  функцией   нормального распределения применяют  нормированную  функцию Лапласа, называемую также интегралом вероятностей

Числовые характеристики законов распределения.

Тогда формула запишется

Вер = Ф (t2) - Ф (t1) = Числовые характеристики законов распределения

Точность измерения величины x будут определять границы , внутри которых может находится действительное число Х, т.е.

 Xo - a X Xo + a,

Где Xo - результат измерения, a - границы интервала

Вероятность того, что действительное значение измеряемой величины  Х лежит внутри доверительного интервала (Xo - a,  Xo + a) называется надежностью b при заданной точности. При уменьшении доверительного интервала до величины  a   2s,  надежность результата резко падает. Величину a =  3s,   имеющую надежность 99,73%,  (доверительная  вероятность 0,997) называют предельной погрешностью.

            Оценка результатов измерений. Результат всякого измерения содержит в себе случайную погрешность.  Поэтому при всех точных измерениях необходимо не только указывать полученный результат,  но и делать оценку качества данного измерения, степени достоверности результата или, как говорят, указывать точность измерения.

При оценке  точности надо указать границы интервала (доверительного интервала) в который с определенной  вероятностью, (доверительной   вероятностью) находится  результат измерения.


Предыдущие материалы: Следующие материалы: