Точечные оценки числовых характеристик результатов измерений


Основными точечными характеристиками погрешностей измерений являются математическое ожидание и дисперсия (или среднее квадратическое отклонение).

Математическое ожидание погрешности измерений М(Х) есть неслучайная величина, относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей при повторных измерениях. Как числовая характеристика погрешности М (Х) показывает на смещенность результатов измерения относительно истинного значения измеряемой величины.

                                                              + ¥

М (Х) = ò  х  j (х) d (х),

                                                               - ¥

где  j (х)  - плотность распределения вероятности погрешности х.

Дисперсия погрешности D (Х) характеризует степень рассеивания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания.

                                                       + ¥

D (Х) =  ò 2  j (х) d (х).

                                                       - ¥

Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах погрешности в квадрате. Поэтому в качестве числовой характеристики точности измерений используют среднее квадратическое отклонение

s (Х) = Ö D (Х).

Оценку параметра назовем точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров.

1. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра.

2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

3. Оценка называется  эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

 На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все эти требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных выше точек зрения.

Существует несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р.Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn, где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией распределения rх (х; Q; sх). Вероятность Рi получения в эксперименте некоторого результата Хi, лежащего в интервале хi  ± Dх, где Dх - некоторая малая величина, равная соответствующему элементу вероятности Рi   = rх (хi; Q; sх) Dх.

Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т. е. всего ряда наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn как произведение этих вероятностей

                                      n                n

Р (Х1, Х2, . . . , Хn) = Õ Рi = Dхп  Õ  rх (хi; Q; sх).

                                     i = 1           i = 1

Если рассматривать Q и sх  как неизвестные параметры распределения, то, подставляя различные значения Q и sх в эту формулу, мы будем получать различные значения вероятности Р (Х1, Х2, . . . , Хn) при каждом фиксированном ряде наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn. При некоторых значениях Q  = Q (Х1, Х2, . . . , Хn) и  sх  = sх (Х1, Х2, . . . , Хn) вероятность Р (Х1, Х2, . . , Хn) получения экспериментальных данных достигает наибольшего значения. В соответствии с методом максимального правдоподобия именно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения и среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.

Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок Q и  sх, при которых функция правдоподобия

                                               n

g (Х1, Х2, . . . , Хn; Q; sх) =   Õ   rх (хi; Q; sх)

                                             i = 1

достигает наибольшего значения. Постоянный сомножитель Dхп  не оказывает влияния на решение и поэтому может быть отброшен. Полученные оценки Q и  sх истинного значения и среднего квадратического отклонения называются оценками максимального правдоподобия.

Наряду с методом максимального правдоподобия при определении точечных оценок широко используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку.


Предыдущие материалы: Следующие материалы: