Математическая обработка результатов прямых измерений


Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно а  и выполнено n аналогичных измерений, результаты которых равны х1, х2,..., хn. Каждый из результатов хi, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, называют

результатом наблюдения. Результатом измерения является оценка а значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупности результатов наблюдений х1, х2,..., хn. Разность Di = хi - а есть погрешность i-го наблюдения. Относительно этой погрешности сделаем следующие допущения:

- погрешность  Di является случайной величиной с нормальным законом распределения;

- математическое ожидание погрешности М = 0, т.е. отсутствует систематическая погрешность;

- погрешность  Di имеет дисперсию s2, одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные;

- погрешности отдельных наблюдений независимы.

Допущение о нормальности закона распределения погрешности основано на том, что случайная погрешность обычно вызывается целым рядом различных причин, а следовательно, какие бы законы распределения ни имели отдельные ее составляющие, при одинаковом порядке их малости закон распределения результирующей погрешности будет близок к нормальному.

Тогда плотность распределения любого результата хi запишется в виде

f = ( хi, a ) = e - (xi - a )^2 / 2 s^2  / Ö 2 p s.

Так как результаты отдельных наблюдений независимы, то плотность распределения системы случайных величин х1, х2,..., хn

                                                                        n

f ( х1, х2,..., хn, а ) = Õ  f ( хi, a ).

                                                                      i = 1

Плотность распределения системы случайных величин и представляет собой функцию правдоподобия, которую обозначим

                                        n                                                é                   n              ù

L = ( х1, х2,..., хn, а ) = Õ  f ( хi, a ) = ( 2p ) -n/2 s-n exp ê- (1/ 2s2 )  å ( хi - a )2 ê.          (2.6)

                                      i = 1                                             ë                 i = 1          û

Использовав метод максимального правдоподобия, найдем оценку  а таким образом, чтобы при а = а   достигалось

L ( х1, х2,..., хn, а ) = max.                       (2.7)

Из  (2.6 ) следует, что для выполнения (2.7.) необходимо, чтобы

                   n         

å  ( хi - a )2   = min.                                                  (2.8 )

                i = 1

Условие (2.8) является формулировкой критерия наименьших квадратов. Отсюда  следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим

тогда оценку а найдем из условия

                    

                    n        

                     å  ( хi - a )2   =  

                    i = 1

                                              ^         n   

                                    ¶Q/¶ а = - 2  å  ( хi - a )  = 0.                 (2.9)

                                                        i = 1

Отсюда получим

                                                     n         

а = ( 1/ n )  å  хi = х,                 (2.10)

                                                   i = 1

                                                                             

т.е. наилучшей оценкой является среднее значение х результатов наблюдений.

Из (2.10) следует, что оценка х является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем

М = а,  s2   =  s2  / n.                  (2.11)

Таким образом, оценка х имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (2.11) следует, что при усреднении результатов n наблюдений случайную погрешность уменьшают в  Ö n раз.

Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов n наблюдений снижается при наличии корреляции между этими результатами. Дисперсия оценки х для коррелированных результатов наблюдений

                                                                                   n

s2   = ( s2 / n)  ,

                                                                                i j

где rij -  коэффициент корреляции между результатами i -го  и  j-го наблюдений.

Полученная оценка а = х является состоятельной, несмещенной и эффективной.

Для оценки неопределенности величины а необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (или среднего квадратического отклонения) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия ( 2 ), представив ее в виде

                                             n                                                      é                n                ù

L = ( х1, х2,..., хn, а ,s2 ) = Õ  f ( хi, a ) = ( 2p )-n/2 (s2 )-n/2 exp ê- (1/ 2s2 ) å ( хi - a )2 ê.      (2.12)

                                           i = 1                                                  ë                i = 1            û

На основе метода максимального правдоподобия найдем оценку  s2  из условия

L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) = max.                    (2.13)

Для упрощения вычислений прологарфимируем  (2.12)

                                                                                                         n

                                                                                                       i = 1

Так как логарифм является монотонной функцией, то значения s2, при которых функции    ( 7 ) и ( 9 ) достигают экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия

¶ ln L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) /¶ s2 = 0.                                                    (2.15)

Продифференцировав (2.15) по s2 , получим

- (1 / n ) ( 1 / s2) + (1/ 2s4) å ( хi - a )2 = 0.                                              (2.16.)

                                           i = 1

                        n

s2 = ( 1 / n ) å ( хi - a )2.                                                                          (2.17)

                    i = 1

Так как истинное значение а неизвестно, то воспользуемся его оценкой х, а соответствующую оценку дисперсии обозначим S2 :

                          n

S2 =  ( 1 / n )  å ( хi - х )2.                                                                      (2.18)

                                  i = 1

Рассмотрим  вопрос о смещенности полученной оценки S2.

Предварительно преобразуем (2.18):

                                n                              n                                  n

S2 = ( 1 / n )  å ( хi2 - 2 х ( 1 / n )  å хi + ( х )2 =  ( 1 / n )  å  хi2  -  ( х )2 .               (2.19)

                              i = 1                          i = 1                             i = 1

                                  é             n    ù                                    n

М = М  ê( 1 / n ) å хi2 ê - М = ( 1 / n ) å  М - М =

                                  ë          i = 1  û                                  i = 1

= ( 1 / n ) å ( s2  + а2 ) - ( s / n + а2) = s2 ( 1 -  1 / n ) = s2 .              (2.20)

                    i = 1

lim  М = s2 .

                                                                n®¥

Такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Из (2.20) следует, что для ликвидации смещенности  оценки достаточно ввести поправочный множитель  n /( n - 1 ). Полученную несмещенную оценку обозначим s2:

                          ^                                             n

s2 = n /( n - 1 ) S2 = n /( n - 1 ) å ( хi - х )2.                  (2.20)

                                                                      i = 1

Использовав (2.20), можно записать другую формулу для расчета оценки, равносильную ей но более удобную  для вычислений:

                                           ë       i = 1               û

Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов.

Определим доверительный интервал для истинного значения а измеряемой величины.

Границы этого интервала зависят не только от оценки а = х измеряемой величины, но и от оценки s среднего квадратического отклонения погрешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случайной величины

                                                                                     

tn -1 = ( х - а ) / S Ö n - 1 = ( х - а ) /  s Ö n.                    (2.22)

Обычно в таблицах приводятся значения ta  для величины  t, имеющей  расределение Стьюдента с k = n - 1  степенями свободы, определяемые из условия

                                   ¥

ò  f n - 1 ( t ) dt = a,                  (2.23)

                                   ta

Подставив в (2.23) граничные значения ± ta, получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:

х - ta s / Ö n    а  х + ta s / Ö n .

u = n S2 / s2  = ( n  - 1 ) s2 / s2

распределена по закону C2n-1  с n - 1 степенями свободы. В таблицах приводятся значения C2a для величины u, имеющей C2-распределение с k = n - 1  степенями свободы, определяемые из условия

                               ¥

ò  f n - 1 ( u ) du = a,                         (2.24)

                              C2a

Подставив в (2.24) вместо u найденные граничные значения C2a1     и C2a2  , получим границы доверительного интервала для дисперсии:

n S2 / C2a1      s2 n S2 / C2a2

или

 ( n - 1 ) s2 / C2a1      s2 ( n - 1 ) s2 / C2a2.


Предыдущие материалы: Следующие материалы: