Обработка результатов неравноточных измерений


    Производственная необходимость часто приводит к тому, что параметры идентичных изделий проверяются на разных стендах, или параметры одного и того же изделия измеряются в течении нескольких дней.

Полученные значения средних арифметических отдельных выборок могут отличаться друг от друга, поэтому следует решить следующие задачи.

  А. Принадлежат ли измерения одной генеральной выборке?

  Б. если принадлежат, то каковы параметры этой генеральной совокупности?

Сравнение средних арифметических значений отдельных выборок 

    Сравнение средних значений целесообразно проводить попарно. Пусть, есть две выборки  неравноточных измерений

  (1)        (1)     (1)                (1)      (1)

x1   , х2 , х3 , ... , хi ,  хm1,

  (2)        (2)       (2)               (2)         (2)

x1   , х2 , х3 , ... , хi ,  хm2,

где  m1 -  число измерений в первой выборке, m2   - число измерений во второй выборке.

    Вычисляются средние арифметические значения первой и второй выборок, а также средние квадратические отклонения первого и второго рядов наблюдений.

  (1)                m1      (1)                          (2)                           m2         (2)    

Хср = 1/m1 ·  å  хi ;          Хср = 1/m2 ·  å  хi ,            (2.25)

         _               /m1   (1)          (1)

         s1(D°) = Ö å (xi - Xср)²  / m1-1,

                           1

                                                   ___________________________

                  _              / m1       (2)        (2)

                 s2(D°) = Ö å (xi - Xср)²  / m2-1                           (2.26)

    Вычисляются оценки суммарного среднего квадратического отклонения

s1-2 = Ö (m1-1) s²1(D°)+(m2-1) s²2(D°) / ((m1-1) + (m2-1))    (2.28)

                            (1)           (2)           _      __________   

                 tэ = ½Хср - Хср½ / s1-2 Ö1/m1+1/m2                    (2.29)

    Затем для заданной вероятности Рд  из таблиц распределения Стьюдента определяется теоретически возможное значение коэффициента t(P,K)  для заданной Рд и степенях свободы            

К = m1+m2-2.

    Если tэ превышает t(P,K), то расхождение можно считать неслучайным, т.е. результаты принадлежат разным генеральным выборкам с надежностью выборкам с надежностью вывода равной вероятности Рд .

    Если tэ t(P,K), то выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

Доверительные оценки при неравноточных измерениях

    Если установлено, что все выборки неравноточных измерений принадлежат одной генеральной совокупности, то следует определить статистические параметры этой генеральной совокупности. Пусть имеется n выборок, число измерений в каждой из них m1, m2, ... mn соответственно

x1', x2', x3', xi',   ... , xm1',

x1², x2², x3², xi², ... , xm2²,

:      :     :     :            :

  (n)    (n)     (n)     (n)                      (n)

x1, x2,  x3,  xi,     ... ,  xmn .  

    Число опытов генеральной выборки будет равно сумме N=åmj; j=1÷n. Первоначально следует вычислить средние арифметические значения каждой выборки и средние квадратические отклонения

                              ( j )              mj    ( j )

                            Xср  = 1/mj  å xi ,                                                (2.30)

                                                 1

                                                                                          ______________________`

                                                      _                        / mj     ( j )        ( j )

                                   sj  (D°) = Ö å (xi   ---  Хср)²   / (mj - 1).           (2.31).

                                                      1

                                                                                  _           _         _

 В зависимости от полученных s1(D°), s2(D°), sj(D°)  формулы вычисления статистических параметров различны.

А. Если величины s1(D°), s2(D°) ... sn(D°) численно близки между собой, то среднее арифметическое генеральной выработки рассчитывается по формуле   n             ( j )

             Хср = 1/N åmj Хср,                               (2.32)

а средняя квадратическая оценка среднего арифметического будет равна

_      _              _

sср = s (D°) / ÖN    ,                                            (2.33)

       _               /            n                ( j )            

где  s (D°) = Ö 1/N-1 åmj (Хср - Хср).                (2.34)

             _   _       _

Б. Если s1,s2, ... sn    существенно отличаются друг от друга, то вычисления

Хср, sср рекомендуется соответственно следующие формулы

                (1)                 (2)               (n)                  n

Хср = Р1Хср   + Р2Хср + РnХср  = 1/Р å Рj Хср    ,   (2.35)   

                    Р1 + Р2 + ... +Рn                              1

                     _______________________________

_         / n           ( j )           

sср = Ö å Рj (Хср - Хср)² /  Р(N-1),                        (2.36)

            1            _

где Рj = mj /  sj² (D°), Р = Р1 + Р2 + ... + Рn .

                                      _

После вычисления Хср sср устанавливаются границы доверительного интервала при заданной доверительной вероятности (или наоборот - доверительная вероятность по заданным границам) по распределению Стьюдента.


Предыдущие материалы: Следующие материалы: