Обработка результатов измерений при нахождении зависимостей. Регрессионный анализ


1. Построение экспериментальных точек

По характеру расположения точек принимаем гипотезу о виде уравнения регрессии Y на X: в первом приближении для решения данной задачи

Y = А + В∙Х                                                                                                                         

2. Определение параметров уравнения регрессии по методу наименьших квадратов

 Составим систему уравнений по числу рассчитываемых параметров:

            ; ,                                                                                                                   

            где      .

Для линейного уравнения регрессии система уравнений имеет вид:

                                                                                           

Решим систему уравнений и определим неизвестные параметры. Для линейного уравнения регрессии решение имеет вид:

 .                           

В =9,712; А = 4,989.

3. Проверка правильности выбора вида уравнения регрессии

Применим непараметрические критерии серий и инверсий.

Рассчитаем отклонения экспериментальных значений Yi от соответствующих значений Ypi, рассчитанных для того же аргумента Xi по полученному уравнению регрессии

            DYi = YiYpi .                                                                                                         

Построим в осях координат X, DY полученные значения DYi для соответствующих Xi.

Запишем последовательность значений DYj по мере возрастания Xj, XjÎ .

Рассчитаем число серий N в полученной последовательности DYj (под серией в данном случае понимается последовательность отклонений одного знака, перед и после которой следуют отклонения противоположного знака или нет вообще никаких отклонений). N = 9.

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95 ( уровнем значимости a = 1 – Р = 0,05) для n = 20 определяем по соответствующей таблице допустимые границы N1-0,5a  и N0,5a.

N1-0,5a= 6; N0,5a = 15.

Критерий серии выполняется, так как выполняется неравенство

N1-0,5a N £ £N0,5a и количество серий  N =9 попадает в интервал .

Рассчитаем число инверсий А в полученной последовательности DYj (под инверсией понимается событие, заключающееся в том, что DYj DYjk при k j).

,                                                                                                                             (5.6)

где Aj – это число инверсий j - гo члена последовательности, т.е. число членов последовательности, которые, будучи расположенными в последовательности после j - ого члена, имеют значение меньшее, чем DYj.

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95 ( уровнем значимости a = 1 – Р = 0,05) для n = 20 определим по соответствующей таблице (таблица И.1 ) допустимые границы A1-0,5a и A0,5a.

            A1-0,5a = 69  и A0,5a = 120.

Так как выполняется неравенство A1-0,5a A £ A0,5a, (69 107 £ 120), критерий инверсии выполняется.

С выбранной доверительной вероятностью Р = 0,95 можно считать, что отклонения экспериментальных значений Yi, от соответствующих значений Yрi найденного уравнения регрессии являются случайными, не содержат аддитивного, мультипликативного или колебательного трендов, т.е. рассчитанное уравнение регрессии, учитывая рекомендации по округлению, Y = 4,989 + 9,712×Х  достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость между величинами X и Y.


Предыдущие материалы: Следующие материалы: