Доверительный интервал для истинного значения величины, имеющей нормальное распределение с известным СКО.


Доверительный интервал и доверительная вероятность

Наряду с точечными широко применяют интервальные оценки числовых характеристик случайных величин, выражающеся границами интервала, внутри которого с определенной вероятностью заключено истинное значение результата измерения. Вероятность того, что погрешность не выйдет за границы некоторого интервала, определяется по площади, ограниченной кривой распределения и границами этого интервала, отложенными по оси абсцисс (квантилями), что показано на рис. 1.10.

Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)

Рис.1.10.

Таким образом, интервал Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2), за границы которого погрешность не выйдет с некоторой вероятностью, называется доверительным интервалом, а характеризующая его вероятность - доверительной вероятностью. Границы этого интервала называются доверительными значениями погрешности. При измерениях можно задаваться доверительным интервалом и по нему определять доверительную вероятность, либо, наоборот, по доверительной вероятности подсчитывать доверительный интервал. Чем больше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал; поэтому на практике обычно выбирают доверительную вероятность 0,95 и даже 0,90.

Доверительный интервал обычно выражают через относительную величину Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) в долях среднего квадратического отклонения (“кратность”) Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2). Для нормального закона доверительную вероятность Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) определяют по значениям интеграла вероятности (функции Лапласа), который в математической справочной литературе обозначается Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) и определяется

Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)

Зная доверительные границы Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) и Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) можно определить доверительную вероятность

Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)

Если значения доверительных границ Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) и Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) симметричны, т.е.

Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2), то Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) и Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2).

Тогда

Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)

Для наиболее часто встречающихся значений доверительной вероятности в табл. 1.3 указаны соответствующие значения кратности.                                   Таблица 1.3

P(t)

0,90

0,95

0,99

0,999

t

1,645

1,960

2,576

3,291

При нормальном законе распределения доверительный интервал Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) имеет доверительную вероятность Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)=0,9973, что означает, что из 370 случайных погрешностей только одна по абсолютному значению будет больше Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2). На основании этого основан один из критериев грубых погрешностей, когда остаточная погрешность какого-либо результата измерения превышает значение Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2), то этот результат считается промахом и исключается из ряда измерений.

Пример. Для известного числа измерений Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) получены значения Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)и Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2). Определить вероятность того, что имеет место неравенство 1,26Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)1,28.

Так как Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2), то Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)0,01/0,025=0,4. Используя таблицу интеграла вероятности, находим Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2). Следовательно, около 30% общего числа измерений будут иметь случайную погрешность Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2), не превышающую ±0,01.

Распределение Стьюдента

При малом числе повторных измерений Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)20 используется распределение случайных погрешностей, предложенное Стьюдентом. Плотность вероятности по этому закону зависит от значения случайной погрешности Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) и от числа измерений:

Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)

где Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)(Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2),Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2))-плотность вероятности случайной погрешности при заданном числе измерений Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2); Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)-гамма-функция; Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)s=Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)/Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) - коэффициент Стьюдента (“кратность” случайной погрешности).

На рис.1.11 показаны графики кривых распределения случайных погрешностей по закону Стьюдента для двух значений Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2). При Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)→∞ распределение Стьюдента совпадает с нормальным, а при Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)20 всё более и более от него отличается.

Доверительный интервал Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) и доверительная вероятность Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)s также зависят от числа измерений. Соответствующие значения Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)s при заданном значении Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) и Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) приводятся в таблицах.

Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)

Рис.1.11

Коэффициент Стьюдента Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)s определяется из соотношения Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)s= Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)=Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2),где Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)-СКО ряда измерений, Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)-доверительный интервал.

Пример. Для числа измерений Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)=6 среднее арифметическое значения Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)=35,4, а СКО ряда наблюдений. Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) Определить доверительную вероятность Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)s , если Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) отличается от истинного значения Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) на величину доверительного интервала Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) т.е. 35,2Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)≤35,6.

Определим коэффициент Стьюдента Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)s=Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)=Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2).По таблицам распределения Стьюдента находим Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2)= 0,9. Следовательно, случайная погрешность Описание: Метрология. Лекции (Часть 2 из 2) результата измерения в 90% случаев не выйдет за пределы доверительного интервала.



Предыдущие материалы: Следующие материалы: