Поможем написать любую работу на аналогичную тему
Условие. При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправки представлены в таблице 2.
Вычислить результат многократных измерений.
Таблица 2.
|
№ измерения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
Результат |
483 |
480 |
487 |
482 |
481 |
483 |
486 |
483 |
483 |
484 |
493 |
480 |
|
|
№ измерения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
Результат |
483 |
483 |
483 |
483 |
484 |
484 |
483 |
482 |
481 |
481 |
483 |
495 |
|
Решение
1. Определим среднее значение результата (Q) и среднее квадратическое отклонения результата измерения (SQ) для каждой серии
Q1=483,75;
Q2 =483,75.
SQ1=√142,25/11=3,60;
SQ2=√148, 25/11=3,67
2. Обнаружение и исключение ошибок
Для этого необходимо вычислить наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение:
|Qmax1-Q1|=9,25;
|Qmin1-Q1|=3,75.
ν1 =9,25/3,60=2,569;
|Qmax2-Q2|=11,25;
|Qmin2-Q2|=2,75.
ν2 = 11,25/ 3,67 = 3,065.
Зададимся доверительной вероятностью Р = 0,95 и соответствующей таблице (/4/, табл. П6) с учетом q = 1 – P = 0,05 и n1 = 12, n2 = 12 найдем соответствующее ей теоретическое значение νq:
νq1 = νq2 = 2,387.
Так как условие ν1 ≤ νq1 и ν2 ≤ νq2 не выполняется, то результаты X11 = 493, Y12 = 495 является ошибочными, они должны быть отброшены.
Необходимо повторить вычисление по п.п. 1 и 2 для сокращенных серий.
Находим среднее арифметическое Q и среднее квадратическое отклонение SQ для сокращенных серий.
Q1=482,91;
Q2 =483,73.
SQ1=√48,91/10=2,21;
SQ2=√10,18/10=1,01.
|Qmax1-Q1|=4,09;
|Qmin1-Q1|=2,91.
ν1 =4,09/2,21=1,851;
|Qmax2-Q2|=1,27;
|Qmin2-Q2|=1,73.
ν2 = 1,73/1,01 = 1,713
.
νq1 = νq2 = 2,383.
Так как условие ν1 ≤ νq1 и ν2 ≤ νq2 выполняется, то ошибочные результаты все исключены.
3. Проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерения
Для проверки гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерения используем два критерия. Если хотя бы один из критериев не выполняется, то гипотезу о нормальности распределения отвергают.
Применим критерий 1:
d1=17,27/√11ּ48,91=0,745;
d2=8,35/√11ּ10,18=0,789.
Зададимся доверительной вероятностью Р1 = 0,98 и для уровня значимости q1 = 1 – Р1 = 0,02 с учетом n = 11 по соответствующей таблице (/4/, таблица П7) определим квантили распределения d1-0.5q и d0.5q:
d1-0.5q = d0,99 = 0,6675;
d0.5q = d0,01 = 0,9359.
Так как 0,6675 d1 ≤ 0,9359 и 0,6675 d2 ≤ 0,9359, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.
Применим критерий 2:
Зададимся доверительной вероятностью Р2 = 0,98 и для уровня значимости q1 = 1 – Р2 = 0,02 с учетом n = 11 по соответствующей таблице (/4/, таблица П8) значение m и P*:
m = 1;
P* = 0, 98.
Для вероятности P* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного распределения Ф(t) (/3/,табл. 1.1.2.6.2) определить значение t и рассчитать E1 = t ∙ S Q1, E2 = t ∙ S Q2.
Ф(t) = P / 2 = 0,98 / 2 = 0,49;
t = 2,33;
E1 = 2,33 ∙ 2,21 = 5,15;
E2 = 2,33 ∙ 1,01 = 2,35.
Так как нет разностей |Qi1-Q1| превосходящих Е1, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения первой серии согласуется с экспериментальными данными. Так как нет разностей |Qi2-Q2| превосходящих Е2, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения второй серии согласуется с экспериментальными данными.
4. Проверка значимости различия средних арифметических значений по сериям
Для этого следует вычислить моменты закона распределения разности:
G = Q1 – Q2;
G = 482,91 – 482,73 = 0,18.
;
SG=√0,444+0,093 =0,73.
Задавшись доверительной вероятностью P = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного распределения Ф(t) (/3/,табл. 1.1.2.6.2) определить значение t и сравнить │G│ c t ∙ SG.
Ф(t) = P / 2 = 0,98 / 2 = 0,49;
t = 1,96;
t ∙ SG = 1,96 ∙ 0,73 = 1,43.
Так как │G│ ≤ t ∙ S0, то различия между средними арифметическими значениями в сериях с доверительной вероятностью P = 0,98 можно признать незначимым.
5. Проверка равнорассеянности результатов измерений в сериях
Определим значение Ψ = S12 / S22;
Ψ = (2,21)2 / (1,01)2 = 4,79.
Задавшись доверительной вероятностью P = 0,98, из таблицы (/1/, табл. 16) определим значение аргумента интегральной функции распределении вероятности Фишера
Ψ0 = 2,82;
Так как не выполняется условие, что Ψ0 ≥ Ψ, то серии неравнорассеянны.
6. Обработка совместно результатов измерения обеих серий с учетом того, однородны серии или нет
Так как серии неравнорассеянны с незначимым различием средних арифметических, то совместную обработку результатов измерений следует выполнять с учетом весовых коэффициентов по алгоритму, представленному в на рисунке 51.
Определяем оценки результата измерения – Q и среднее квадратическое отклонение S:
;
;
S=2,21ּ1,01/(√11 ּ2,212+11 ּ1,012 )=0,277.
Q=482,86.
Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, определим из таблицы распределения Стьюдента (/3/, табл. 1.1.2.8) значение t для числа степеней свободы m.
t = 2,086.
Определим доверительный интервал E = t ∙ S = 2,086 ∙ 0,277=0,58≈0,6
Ответ: Q = 482,9±0,6 (Р = 0,95, n = 22).