Основные расчетные формулы метода «максимум-минимум»


Метод «максимума-минимума» основан на предположении, что при сборке механизма возможно сочетание увеличивающих звеньев, изготовленных по наибольшим предельным размерам, с уменьшающими звеньями, изготовленными по наименьшим предельным размерам, или наоборот.

Этот метод расчета обеспечивает полную взаимозаменяемость в процессе сборки и эксплуатации изделий. Однако допуски составляющих размеров, вычисленные по этому методу, особенно для размерных цепей, содержащих много звеньев, могут получиться в техническом и экономическом отношениях неоправданно малыми, поэтому данный метод применяют для проектирования размерных цепей, имеющих малое число составляющих звеньев невысокой точности.

Первая задача

Номинальный размер замыкающего звена можно определить по формуле (см. пример первой задачи) .

Если принять общее количество звеньев цепи n, то количество составляющих будет n – 1. Примем: m – количество увеличивающих звеньев, рколичество уменьшающих, тогда

n – 1 = m + p.

В общем виде формула для расчета номинального размера замыкающего звена будет такой:

                                        (8.1)

Для примера (см. раздел 8.1)

А0 = А 2 – А1 = 64 – 28 = 36 мм.

На основании равенства (8.1) получим:

;                    (8.2)

.                     (8.3)

Вычтем почленно из равенства (8.2) равенство (8.3), получим:

.

Так как сумма увеличивающих и уменьшающих звеньев есть все составляющие звенья цепи, то полученное равенство можно упростить:

.                                          (8.4)

Таким образом, допуск замыкающего звена равен сумме допусков всех составляющих звеньев в цепи.

Чтобы вывести формулы для расчета предельных отклонений замыкающего звена, вычтем почленно из равенства (8.2) равенство (8.1) и из равенства (8.3) равенство (8.1), получим:

;                    (8.5)

.                    (8.6)

Таким образом, верхнее отклонение замыкающего размера равно разности сумм верхних отклонений увеличивающих и нижних отклонений уменьшающих размеров; нижнее отклонение замыкающего размера равно разности сумм нижних отклонений увеличивающих и верхних отклонений уменьшающих размеров.

Для примера первой задачи (см. раздел 8.1) получим:

= 0,04 + 0,08 = 0,12 мм;

 мм;

 мм.

Таким образом,

.

Определим допуск замыкающего звена через полученные предельные отклонения:

.

Это значение совпадает с ранее найденным значением допуска, что подтверждает правильность решения задачи.

Вторая задача

При решении второй задачи допуски составляющих размеров определяют по заданному допуску замыкающего размера TA0 одним из следующих способов: равных допусков или допусков одного квалитета.

1. При решении способом равных допусков – на составляющие размеры назначают примерно равные допуски, руководствуясь средним допуском.

Итак, предполагаем, что

,

тогда сумма допусков всех составляющих размеров равна произведению числа составляющих звеньев на средний допуск, т.е.:

.

Подставим это выражение в равенство (8.4): , отсюда

.                                          (8.7)

По найденному значению Tcp Ai устанавливают допуски на составляющие размеры, учитывая величину и ответственность каждого размера.

При этом должны быть выполнены следующие условия: принятые допуски должны соответствовать стандартным допускам, сумма допусков составляющих размеров должна равняться допуску замыкающего размера, т.е. должно выполняться равенство (8.4). Если при стандартных допусках равенство (8.4) не может быть обеспечено, то на один составляющий размер устанавливают нестандартный допуск, определяя его значение по формуле

.                                  (8.8)

Способ равных допусков прост и дает хорошие результаты, если номинальные размеры составляющих звеньев размерной цепи находятся в одном интервале.

Решим пример второй задачи (см. раздел 8.1) способом равных допусков (8.7):

 мм.

Получим:

А1 = 215;   TA1 = 0,04;

A2 = 60;     TA2 = 0,04;

A3 = 155;   TA3 = 0,04.

В этом примере равенство (8.4) соблюдается, и корректировать допуск одного из составляющих размеров нет необходимости.

Распишем равенство (8.5) для данного примера:

;

0,12 = 0,06 – (-0,03 – 0,03).

(Числовые значения предельных отклонений составляющих размеров выбраны условно.)

Получим:

      TA1 = 0,04, значит,       Ei(A1) = +0,02;

Ei(A2) = -0,03;      TA2 = 0,04,         значит,       Es(A2) = +0,01;

Ei(A3) = -0,03;    TA3 = 0,04, значит,       Es(A3) = +0,01.

Проверим соблюдение равенства (8.6):

;

0 = 0,02 – (0,01 +0,01);

0 = 0.

Таким образом, получим ответ:

;               ;                .

2. Более универсальным и упрощающим подбор допусков при любом разнообразии размеров составляющих звеньев является способ допусков одного квалитета.

При этом способе на размеры всех составляющих звеньев (кроме корректирующего Aj) назначают допуски из одного квалитета с учетом номинальных размеров звеньев.

Рекомендуется на охватывающие размеры назначать допуски с основным отклонением Н, а на охватываемые размеры – с основным отклонением h.

Для вывода формулы исходной зависимостью служит равенство (8.4):

.

Однако допуск любого размера можно вычислить по формуле

,

где а – число единиц допуска, постоянное в пределах одного квалитета (табл. 8.1);  - единица допуска зависит от номинального размера составляющего звена (табл. 8.2).

Таблица 8.1

Число единиц допуска

Квалитет

а

Квалитет

а

Квалитет

а

Квалитет

а

5

7

8

25

11

100

14

400

6

10

9

40

12

160

7

16

10

64

13

250

Значение единиц допуска

Интервалы размеров, мм

i, мкм

Интервалы размеров, мм

i, мкм

до 3

0,55

80 – 120

2,17

3 – 6

0,73

120 – 180

2,52

6 – 10

0,90

180 – 250

2,89

10 – 18

1,08

250 – 315

3,22

18 – 30

1,31

315 – 400

3,54

30 – 50

1,56

400 – 500

3,89

50 – 80

1,86

.

Так как a = const, то , отсюда  .

По найденному числу единиц допуска (а) подбирают ближайший квалитет, по которому назначают допуски составляющих размеров. Для удовлетворения условия (8.4) на один из составляющих размеров, как и в предыдущем способе, допуск назначают по формуле (8.8).

Решим пример второй задачи способом назначения допусков одного квалитета:

.

По таблицам справочников назначаем допуски составляющих звеньев цепи по седьмому квалитету:

ТА1 = 46 мкм;     ТА2 = 30 мкм;    ТА3 = 40 мкм.

Равенство (8.4) не соблюдается, так как 120.

В качестве корректирующего используем звено А2, тогда по формуле (8.8) допуск этого звена будет равен:

ТА2 = ТА0 – (ТА1 + ТА3);   ТА2 = 120 – (46 + 40) = 34 мкм.

Итак, получим:

А1 = 215,    ТА1 = 0,046;        А2 = 60;      ТА2 = 0,034;       

А3 = 155,    ТА3 = 0,040.

Верхнее отклонение замыкающего звена определяется по формуле

;

0,12 = 0,046 – (-0,034 – 0,040).

Получим:

          ;

         ;

         .

Нижнее отклонение замыкающего звена:

;

0   =   0 – (0 + 0);

0 = 0.

Таким образом, получим ответ:

;            ;       


Выводы

Так как допуск замыкающего звена зависит от числа составляющих размеров, то основное правило проектирования размерных цепей можно сформулировать так: при конструировании деталей, узлов сборочных единиц и механизмов необходимо стремиться к тому, чтобы число размеров, образующих размерную цепь, было минимальным. Это принцип кратчайшей размерной цепи.

На чертежах указывают только составляющие размеры с предписанными отклонениями. Замыкающие размеры обычно получаются автоматически в результате обработки деталей или сборки, поэтому их не контролируют и на чертежах не обозначают.

Проставлять на чертежах размеры замкнутыми цепочками не рекомендуется. Особенно недопустимо проставлять замыкающие размеры с отклонениями, так как при изготовлении детали это вызывает брак.

В качестве замыкающих размеров следует принимать наименее ответственные размеры, которые могут иметь большие отклонения.


Предыдущие материалы: Следующие материалы: