Поможем написать любую работу на аналогичную тему
Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно а и выполнено n аналогичных измерений, результаты которых равны х1, х2,..., хn. Каждый из результатов хi, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, называют
результатом наблюдения. Результатом измерения является оценка а значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупности результатов наблюдений х1, х2,..., хn. Разность Di = хi - а есть погрешность i-го наблюдения. Относительно этой погрешности сделаем следующие допущения:
- погрешность Di является случайной величиной с нормальным законом распределения;
- математическое ожидание погрешности М = 0, т.е. отсутствует систематическая погрешность;
- погрешность Di имеет дисперсию s2, одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные;
- погрешности отдельных наблюдений независимы.
Допущение о нормальности закона распределения погрешности основано на том, что случайная погрешность обычно вызывается целым рядом различных причин, а следовательно, какие бы законы распределения ни имели отдельные ее составляющие, при одинаковом порядке их малости закон распределения результирующей погрешности будет близок к нормальному.Тогда плотность распределения любого результата хi запишется в виде
f = ( хi, a ) = e - (xi - a )^2 / 2 s^2 / Ö 2 p s.
Так как результаты отдельных наблюдений независимы, то плотность распределения системы случайных величин х1, х2,..., хn
n
f ( х1, х2,..., хn, а ) = Õ f ( хi, a ).
i = 1
Плотность распределения системы случайных величин и представляет собой функцию правдоподобия, которую обозначимn é n ù
L = ( х1, х2,..., хn, а ) = Õ f ( хi, a ) = ( 2p ) -n/2 s-n exp ê- (1/ 2s2 ) å ( хi - a )2 ê. (2.6)
i = 1 ë i = 1 û
Использовав метод максимального правдоподобия, найдем оценку а таким образом, чтобы при а = а достигалось L ( х1, х2,..., хn, а ) = max. (2.7)Из (2.6 ) следует, что для выполнения (2.7.) необходимо, чтобы
n
å ( хi - a )2 = min. (2.8 )
i = 1
Условие (2.8) является формулировкой критерия наименьших квадратов. Отсюда следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим тогда оценку а найдем из условия nå ( хi - a )2 =
i = 1
^ n
¶Q/¶ а = - 2 å ( хi - a ) = 0. (2.9)
i = 1
Отсюда получим
n
а = ( 1/ n ) å хi = х, (2.10)
i = 1
т.е. наилучшей оценкой является среднее значение х результатов наблюдений.
Из (2.10) следует, что оценка х является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем
М = а, s2 = s2 / n. (2.11)
Таким образом, оценка х имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (2.11) следует, что при усреднении результатов n наблюдений случайную погрешность уменьшают в Ö n раз.
Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов n наблюдений снижается при наличии корреляции между этими результатами. Дисперсия оценки х для коррелированных результатов наблюдений
n
s2 = ( s2 / n) ,
i j
где rij - коэффициент корреляции между результатами i -го и j-го наблюдений.Полученная оценка а = х является состоятельной, несмещенной и эффективной.
Для оценки неопределенности величины а необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (или среднего квадратического отклонения) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия ( 2 ), представив ее в видеn é n ù
L = ( х1, х2,..., хn, а ,s2 ) = Õ f ( хi, a ) = ( 2p )-n/2 (s2 )-n/2 exp ê- (1/ 2s2 ) å ( хi - a )2 ê. (2.12)
i = 1 ë i = 1 û
На основе метода максимального правдоподобия найдем оценку s2 из условия
L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) = max. (2.13)
Для упрощения вычислений прологарфимируем (2.12)n
i = 1
Так как логарифм является монотонной функцией, то значения s2, при которых функции ( 7 ) и ( 9 ) достигают экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия
¶ ln L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) /¶ s2 = 0. (2.15)
Продифференцировав (2.15) по s2 , получим
- (1 / n ) ( 1 / s2) + (1/ 2s4) å ( хi - a )2 = 0. (2.16.)
i = 1
n
s2 = ( 1 / n ) å ( хi - a )2. (2.17)
i = 1
Так как истинное значение а неизвестно, то воспользуемся его оценкой х, а соответствующую оценку дисперсии обозначим S2 :
n
S2 = ( 1 / n ) å ( хi - х )2. (2.18)
i = 1
Рассмотрим вопрос о смещенности полученной оценки S2.
Предварительно преобразуем (2.18):
n n n
S2 = ( 1 / n ) å ( хi2 - 2 х ( 1 / n ) å хi + ( х )2 = ( 1 / n ) å хi2 - ( х )2 . (2.19)
i = 1 i = 1 i = 1
é n ù n
М = М ê( 1 / n ) å хi2 ê - М = ( 1 / n ) å М - М =
ë i = 1 û i = 1
= ( 1 / n ) å ( s2 + а2 ) - ( s / n + а2) = s2 ( 1 - 1 / n ) = s2 . (2.20)
i = 1
lim М = s2 .
n®¥
Такая оценка называется асимптотически несмещенной.
Из (2.20) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель n /( n - 1 ). Полученную несмещенную оценку обозначим s2:
^ n
s2 = n /( n - 1 ) S2 = n /( n - 1 ) å ( хi - х )2. (2.20)
i = 1
Использовав (2.20), можно записать другую формулу для расчета оценки, равносильную ей но более удобную для вычислений:ë i = 1 û
Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов.
Определим доверительный интервал для истинного значения а измеряемой величины.
Границы этого интервала зависят не только от оценки а = х измеряемой величины, но и от оценки s среднего квадратического отклонения погрешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случайной величины
tn -1 = ( х - а ) / S Ö n - 1 = ( х - а ) / s Ö n. (2.22)
Обычно в таблицах приводятся значения ta для величины t, имеющей расределение Стьюдента с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия
¥
ò f n - 1 ( t ) dt = a, (2.23)
ta
Подставив в (2.23) граничные значения ± ta, получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:х - ta s / Ö n а х + ta s / Ö n .
u = n S2 / s2 = ( n - 1 ) s2 / s2
распределена по закону C2n-1 с n - 1 степенями свободы. В таблицах приводятся значения C2a для величины u, имеющей C2-распределение с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия
¥
ò f n - 1 ( u ) du = a, (2.24)
C2a
Подставив в (2.24) вместо u найденные граничные значения C2a1 и C2a2 , получим границы доверительного интервала для дисперсии:
n S2 / C2a1 s2 n S2 / C2a2
или
( n - 1 ) s2 / C2a1 s2 ( n - 1 ) s2 / C2a2.
| Предыдущие материалы: | Следующие материалы: |