Задание 5 Обработка экспериментальных данных при изучении зависимости

Тест на внимательность. Сколько цветов на картинке? 1, 2, или 3?

Проверить ответ


Условие. при многократных совместных измерениях величин X  и Y получено по 20 пар результатов измерений. Эти измерения после внесения поправок представлены в таблице 4.

Определить уравнение регрессии Y по X (Y = f (X)).

Таблица 4 – Исходные данные

X

5

15

25

35

45

55

65

75

85

95

Y

49

149

245

355

449

541

639

732

832

922

X

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Y

880

891

901

912

922

935

943

957

966

975

Решение

1 В координатных осях X и Y построим n экспериментальных точек с координатами Xi  ,Yi (i = 1..20 ) (рисунок 1) и по характеру расположения точек выдвинем гипотезу о виде уравнения регрессии Y на X.

2. Определим параметры уравнения регрессии А и В по методу наименьших квадратов.

Составим систему уравнений по числу рассчитываемых параметров

   …

         где ;

Для линейного уравнения регрессии система уравнений имеет вид:

 

         решим систему уравнений и определим неизвестные параметры, например, для линейного уравнения регрессии решение имеет вид:

 

В=9,653;

А=7,461.

3 Проверим правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого применяем непараметрические критерии серий и инверсий:

         Рассчитаем отклонения экспериментальных значений Yi от  соответствующих значений yi, рассчитанных для того же аргумента Xi по полученному уравнению регрессии:

         DYi = Yi - Ypi ;

Построим в осях координат X, DY полученные значения DYi для соответствующих Xi;

        

 Запишем последовательность значений DYj по мере возрастания Xj,

DYj=-6,726; -5,884; -4,537; -4,19; -3,786; -3,256; -2,843; -2,496; -2,496; -0,802; 0,564; 0,851; 2,239; 2,624; 2,892; 3,545; 4,034; 4,094; 7,154; 9,684.

Рассчитаем число серий N в  полученной последовательности ∆Yi (под серией понимается последовательность отклонений одного знака, перед и после которой следует отклонение противоположного знака или нет вообще никаких отклонений).

N =3.

Зададимся доверительной вероятностью Р = 0,95 для уровня значимости q = 1 – Р = 0,05  учетом n = 20 по соответствующей таблице (/5/, таблица А6) определим границы N1-0.5q и N0.5q:

N1-0.5q = N0,95= 6;

N0.5q = N0,05= 15.

Так как условие 6 N ≤ 15 не выполняется, то следует пересмотреть выбор уравнения регрессии. В частности, можно увеличить степень полинома на единицу и повторить вычисления.

С целью определения параметров регрессии в данном случае необходимо решить систему уравнений:

Решим систему методом Крамера:

Рассчитаем число серий N в в полученной последовательности ∆Yi (под серией понимается последовательность отклонений одного знака, перед и после которой следует отклонение противоположного знака или нет вообще никаких отклонений).

N = 5.

Зададимся доверительной вероятностью Р = 0,98 и для уровня значимости q = 1 – Р = 0,02 с учетом n = 20 по соответствующей таблице (/5/, таблица А6) определим границы N1-0.5q и N0.5q:

N1-0.5q = N0,99 = 6;

N0.5q = N0,01 = 15.

Так как условие 6 N ≤ 15 не выполняется, то следует пересмотреть выбор уравнения регрессии. В частности, можно увеличить степень полинома на единицу и повторить вычисления.

 

С целью определения параметров регрессии в данном случае необходимо решить систему уравнений:

Решим систему методом Крамера получим:

Рассчитаем число серий N в в полученной последовательности ∆Yi (под серией понимается последовательность отклонений одного знака, перед и после которой следует отклонение противоположного знака или нет вообще никаких отклонений).

N = 7.

Зададимся доверительной вероятностью Р = 0,98 и для уровня значимости q = 1 – Р = 0,02 с учетом n = 20 по соответствующей таблице (/5/, таблица А6) определим границы N1-0.5q и N0.5q:

N1-0.5q = N0,99 = 6;

N0.5q = N0,01 = 15.

Так как условие 6 N ≤ 15 выполняется, то уравнения регрессии выбрано, верно.

Рассчитаем число инверсий А в полученной последовательности  ∆Yi.

Зададимся доверительной вероятностью Р = 0,98 и для уровня значимости q = 1 – Р = 0,02 с учетом n = 20 по соответствующей таблице (/5/, таблица А7) определим границы А1-0.5q и А0.5q:

А1-0.5q = А0,99 = 64;

А0.5q = А0,01 = 125.

Так как условие 64 А ≤ 125  выполняется, то выбор уравнения регрессии осуществлен, верно.


Предыдущие материалы: Следующие материалы: