Косвенные измерения физических величин


В результате косвенных измерений определяется значение физической величины, функционально связанной с другими физическими величинами, значения которых равны а1, а2,..., аm:

z = F ( а1, а2,..., аm ).

Пусть каждая из величин аj  ( j = 1, 2,...,  m ) измерена с погрешностью   Dj. Необходимо оценить значение погрешности Dz результата косвенного измерения.

Рассматривая z как функцию m переменных аj, запишем ее полный дифференциал::

dz =  ( ¶F/¶a1)da1 + ( ¶F/¶a2 )¶a2 + ... + ( ¶F/¶am ) dam,

или

dz  =  å  ( ¶F/¶aj ) daj.

         j = 1

Положив, что погрешности измерений достаточно малы, заменим  дифференциалы соответствующими приращениями:

         m  

dz  =  å  ( ¶F/¶aj )  Dj.                                                                   (6.1)

         j = 1

Рассмотрим оценивание случайной погрешности результатов косвенных измерений. Пусть величины aj измерены  со случайными погрешностями Dj, имеющими нулевые математические ожидания М  = 0 и дисперсии   s2j. Использовав формулу запишем выражения для математического ожидания М и дисперсии s2 погрешности Dz:

                                           m  

М     =  å  ( ¶F/¶aj )  М = 0;

                                          j = 1

               

                   m                                m           ¶F      ¶F

s2 =  å  ( ¶F/¶aj )2  s2j  + 2 å  rkl ½------  ------½ sk sl,

                 j = 1                            k 1       ¶ak     ¶al

Если погрешности Dj некоррелированы, то

                             m

s2 =  å  ( ¶F/¶aj )2  s2j                (6.2)

                 j = 1

Таким образом, для оценки результата z  косвенного измерения естественно применить формулу

z =  F  ( а1, а2,..., а m ),

а для оценки  систематических и случайных погрешностей соответственно (6.1) и (6.2).

Заметим, что в общем случае при нелинейной функции коэффициенты влияния ¶F/¶aj, присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями значений величин aj. Коэффициенты влияния обычно оцениваются путем подстановки в выражения частных производных оценок aj. Следовательно, вместо самих коэффициентов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определяют экспериментально. В том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником погрешности при обработке результатов косвенных измерений.


Предыдущие материалы: Следующие материалы: